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Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimensionaler Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten
(1968)
Die vorliegende Arbeit untersucht das approximationstheoretische Verhalten von Summationsprozessen von Reihen von Kugelfunktionen, sogenannten Laplace-Reihen. Zunächst wird die Theorie der besten Approximation auf der Kugel, also die Erweiterung der Sätze von D. Jackson und S. Bernstein, skizziert. Nimmt man nun spezielle Verfahren zur Summation von Laplace-Reihen, dann lassen sich auch hier Sätze vom Jacksonschen und Bernsteinschen Typ beweisen. Darüber hinaus zeigen viele Verfahren ein Saturationsverhalten, d.h. es gibt eine nur vom Verfahren abhängige optimale Approximationsordnung. Das Saturationsproblem besteht nun darin, diejenige Klasse von Funktionen (Saturationsklasse) zu bestimmen, welche genau von der optimalen Ordnung approximiert werden.
Für die Approximation stetiger, 2π-periodischer Funktionen auf der reellen Achse durch trigonometrische Polynome wurde ein direkter Satz von D. Jackson 1911 [8] und die Umkehrung von S. N. Bernstein 1912 [1] bewiesen und die Ergebnisse von A. Zygmund [25] 1945 verallgemeinert. 1949 stellte M. Zamansky [25] eine Beziehung zwischen der Approximationsordnung und dem Wachstum bezϋglich n der Ableitungen der Approximationspolynome her; auf die Approximationsordnung für die Ableitungen der Funktion schloβ S. B. Steckin 1951.
Die Umkehrung des Ergebnisses von M. Zamansky bewies G. Sunouchi 1968 [21,22], womit die Aquivalenz aller Aussagen gezeigt ist.
Die Übertragung der Ergebnisse auf Approximationsoperatoren in Banachräumen stammt von K. Scherer und P. L. Butzer [3, 4], wobei gewisse Voraussetzungen an die Operatorfolge (eine verallgemeinerte Bernsteinsche Ungleichung und eine sogenannte Jacksonsche Ungleichung) gestellt werden. An die Stelle der strukturellen Eigenschaften der Funktion, die durch das Verhalten des Stetigkeitsmoduls der Funktion charakterisiert werden, treten in allgemeinen Banachräumen Eigenschaften des von J. Peetre [17] eingefϋhrten K-Funktionals.
In dieser Arbeit wird die Approximation von Funktionen, die auf der Einheitskugel Sᵏ im Rᵏ definiert sind, durch Linearkombinationen von Kugelfunktionen untersucht. Es wird für diesen Fall eine Bernstein-Ungleichung und die Jackson-Ungleichung bewiesen, wenn man die Ableitung durch den Laplace-Operator auf Sᵏ ersetzt. Damit ist der oben zitierte allgemeine Satz von Butzer-Scherer anwendbar. Weiter kann man hier an Stelle des K-Funktionals einen verallgemeinerten Stetigkeitsmodul setzen. Anschlieβend wird der Spezialfall der zonalen Funktionen und ihre Approximation durch algebraische Polynome untersucht.
Formeln statt Zahlen : Referenzwerte Formeln zur energetischen Bewertung von Produktionsanlagen
(2005)
b-Lactame gehören zu den wirkungsvollsten Antibiotika, jedoch lassen sich viele nur schwierig fermentativ erzeugen. Ein Problem bei der fermentativen Produktion ist die Hydrolyse des Lactamrings im wässrigen Milieu. Das Ziel des von der DBU geförderten Projekts ist die selektive In-situ-Adsorption der b-Lactamantibiotika unter anschließender magnetischer Separation. Durch die Isolation im Hochgradientenmagnetseparator (HGMS) ist eine Fest-fest-flüssig-Trennung und somit ein erheblicher Zeitgewinn im Downstreamprozess möglich. Zusätzlich kommt es zur Einsparung an Lösungsmittel und Energie, was neben Reduzierung der Antibiotikahydrolyse auch in ökologischer Hinsicht einen interessanten Aspekt darstellt. Als Trägermaterial für die Adsorbermatrix werden magnetisierbare Eisenoxidpartikel eingesetzt, die in einer Silikamatrix eingebettet sind. Diese Adsorber sollen auf Selektivität in Wasser und verschiedenen Medien getestet werden. Zusätzlich werden die Abbauprodukte des b-Lactams analysiert, um eine Aussage über die Stabilisierung des Antibiotikums durch die selektiven Adsorber treffen zu können. Diese Ergebnisse werden mit kommerziell erhältlichen Adsorbern verglichen. Die Aufreinigung der Antibiotika soll direkt aus der Fermentationsbrühe erfolgen. Um die Trennung der magnetischen, selektiven Adsorber von der Biomasse zu gewährleisten, soll der HGMS in die Fermentation integriert werden. Das filamentöse Wachstum des Mikroorganismus erfordert eine Neuauslegung der Filtermatrix.