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Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimensionaler Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten
(1968)
Die vorliegende Arbeit untersucht das approximationstheoretische Verhalten von Summationsprozessen von Reihen von Kugelfunktionen, sogenannten Laplace-Reihen. Zunächst wird die Theorie der besten Approximation auf der Kugel, also die Erweiterung der Sätze von D. Jackson und S. Bernstein, skizziert. Nimmt man nun spezielle Verfahren zur Summation von Laplace-Reihen, dann lassen sich auch hier Sätze vom Jacksonschen und Bernsteinschen Typ beweisen. Darüber hinaus zeigen viele Verfahren ein Saturationsverhalten, d.h. es gibt eine nur vom Verfahren abhängige optimale Approximationsordnung. Das Saturationsproblem besteht nun darin, diejenige Klasse von Funktionen (Saturationsklasse) zu bestimmen, welche genau von der optimalen Ordnung approximiert werden.
Für die Approximation stetiger, 2π-periodischer Funktionen auf der reellen Achse durch trigonometrische Polynome wurde ein direkter Satz von D. Jackson 1911 [8] und die Umkehrung von S. N. Bernstein 1912 [1] bewiesen und die Ergebnisse von A. Zygmund [25] 1945 verallgemeinert. 1949 stellte M. Zamansky [25] eine Beziehung zwischen der Approximationsordnung und dem Wachstum bezϋglich n der Ableitungen der Approximationspolynome her; auf die Approximationsordnung für die Ableitungen der Funktion schloβ S. B. Steckin 1951.
Die Umkehrung des Ergebnisses von M. Zamansky bewies G. Sunouchi 1968 [21,22], womit die Aquivalenz aller Aussagen gezeigt ist.
Die Übertragung der Ergebnisse auf Approximationsoperatoren in Banachräumen stammt von K. Scherer und P. L. Butzer [3, 4], wobei gewisse Voraussetzungen an die Operatorfolge (eine verallgemeinerte Bernsteinsche Ungleichung und eine sogenannte Jacksonsche Ungleichung) gestellt werden. An die Stelle der strukturellen Eigenschaften der Funktion, die durch das Verhalten des Stetigkeitsmoduls der Funktion charakterisiert werden, treten in allgemeinen Banachräumen Eigenschaften des von J. Peetre [17] eingefϋhrten K-Funktionals.
In dieser Arbeit wird die Approximation von Funktionen, die auf der Einheitskugel Sᵏ im Rᵏ definiert sind, durch Linearkombinationen von Kugelfunktionen untersucht. Es wird für diesen Fall eine Bernstein-Ungleichung und die Jackson-Ungleichung bewiesen, wenn man die Ableitung durch den Laplace-Operator auf Sᵏ ersetzt. Damit ist der oben zitierte allgemeine Satz von Butzer-Scherer anwendbar. Weiter kann man hier an Stelle des K-Funktionals einen verallgemeinerten Stetigkeitsmodul setzen. Anschlieβend wird der Spezialfall der zonalen Funktionen und ihre Approximation durch algebraische Polynome untersucht.
Der konstruktive Entwurf wird in derzeitigen CAD-Systemen gut unterstützt, nicht aber der konzeptuelle Gebäude-Entwurf. Dieser abstrahiert von konstruktiven Elementen wie Linie, Wand oder Decke, um auf die Konzepte, d.h. die eigentlichen Funktionen, heraus zu arbeiten. Diese abstraktere, funktionale Sichtweise auf ein Gebäude ist während der frühen Entwurfsphase essentiell, um Struktur und Organisation des gesamten Gebäudes zu erfassen. Bereits in dieser Phase muss Fachwissen (z. B. rechtliche, ökonomische und technische Bestimmungen) berücksichtigt werden. Im Rahmen des vorliegenden Projekts werden Software-Werkzeuge integriert in industrielle CAD-Systeme entwickelt, die den konzeptuellen Gebäude-Entwurf ermöglichen und diesen gegen Fachwissen prüfen. Das Projekt ist in zwei Teile gegliedert. Im Top-Down-Ansatz werden Datenstrukturen und Methoden zur Strukturierung, Repräsentation und Evaluation von gebäudespezifischem Fachwissen erarbeitet. Dieser Teil baut auf den graphbasierten Werkzeugen PROGRES und UPGRADE des Lehrstuhls auf. Der Bottom-Up-Ansatz ist industriell orientiert und hat zum Ziel, das kommerzielle CAD-System ArchiCAD zu erweitern. Hierbei soll der frühe, konzeptuelle Gebäude-Entwurf in einem CAD-System ermöglicht werden. Der Entwurf kann darüber hinaus gegen das definierte Fachwissen geprüft werden. Im Rahmen des graphbasierten Top-Down-Ansatzes wurde zunächst eine neue Spezifikationsmethode für die Sprache PROGRES entwickelt. Das PROGRES-System erlaubt die Spezifikation von Werkzeugen in deklarativer Form. Üblicherweise wird domänenspezifisches Fachwissen in der PROGRES-Spezifikation codiert, das daraus generierte visuelle Werkzeug stellt dann die entsprechende Funktionalität zur Verfügung. Mit dieser Methode sind am Lehrstuhl für Informatik III Werkzeuge für verschie-dene Anwendungsdomänen entstanden. In unserem Fall versetzen wir einen Domänen-Experten, z. B. einen erfahrenen Architekten, in die Lage, Fachwissen zur Laufzeit einzugeben, dieses zu evaluieren, abzuändern oder zu ergänzen. Im Rahmen der bisherigen Arbeit wurde dazu eine parametrisierte PROGRES-Spezifikation und zwei darauf aufbauende Werkzeuge entwickelt, welche die dynamische Eingabe von gebäude-technisch relevantem Fachwissen erlauben und einen graphbasierten, konzeptuellen Gebäude-Entwurf ermöglichen. In diesem konzeptuellen Gebäude-Entwurf wird von Raumgrößen und Positionen abstrahiert, um die funktionale Struktur eines Gebäudes zu beschreiben. Das Fachwissen kann von einem Architekten visuell definiert werden. Es können semantische Einheiten, im einfachsten Fall Räume, nach verschiedenen Kriterien kategorisiert und klassifiziert werden. Mit Hilfe von Attributen und Relationen können die semantischen Einheiten präziser beschrieben und in Beziehung zueinander gesetzt werden. Die in PROGRES spezifizierten Konsistenz-Analysen erlauben die Prüfung eines graphbasierten konzeptuellen Gebäude-Entwurfs gegen das dynamisch eingefügte Fachwissen. Im zweiten Teil des Forschungsprojekts, dem Bottom-Up-Ansatz, wird das CAD-System ArchiCAD erweitert, um den integrierten konzeptuellen Gebäude-Entwurf zu ermöglichen. Der Architekt erhält dazu neue Entwurfselemente, die Raumobjekte, welche die relevanten semantischen Einheiten während der frühen Entwurfsphase repräsentieren. Mit Hilfe der Raumobjekte kann der Architekt in ArchiCAD den Grundriss und das Raumprogramm eines Gebäudes entwerfen, ohne von konstruktiven Details in seiner Kreativität eingeschränkt zu werden. Die Arbeitsweise mit Raumobjekten entspricht dem informellen konzeptuellen Entwurf auf einer Papierskizze und ist daher für den Architekten intuitiv und einfach zu verwenden. Durch die Integration in ArchiCAD ergibt sich eine weitere Unterstützung: Das im Top-Down-Ansatz spezifizierte Fach-wissen wird verwendet, um den konzeptuellen Gebäude-Entwurf des Architekten auf Regelverletzungen zu überprüfen. Entwurfsfehler werden angezeigt. Zum Abschluss des konzeptuellen Gebäude-Entwurfs mit Raumobjekten wird durch ein weiteres neu entwickeltes Werkzeug eine initiale Wandstruktur automatisch erzeugt, die als Grundlage für die folgenden konstruktiven Entwurfsphasen dient. Alle beschriebenen Erwei-terungen sind in ArchiCAD integriert, sie sind für den Architekten daher leicht zu erlernen und einfach zu bedienen.